FÍSICA : MEDICIONES, TÉCNICAS Y VECTORES

ACTIVIDAD MARTES 18 DE DICIEMBRE

 FÍSICA : MEDICIONES, TÉCNICAS Y VECTORES

Mediciones tecnicas y vectores from votrefolie

La aplicación de la física, ya sea en el taller o en un laboratorio técnico, requiere siempre algún tipo de mediciones. Un mecánico automotor puede medir el diámetro o vaso de un cilindro de motor. Los técnicos en refrigeración tal vez necesiten hacer mediciones de volumen, presión y temperatura. Los electricistas usan instrumentos para medir la resistencia eléctrica y la corriente, y los ingenieros mecánicos se interesan en los efectos de fuerzas cuyas magnitudes deben ser determinadas con precisión. En realidad, es difícil imaginar una ocupación en la que no se requiera la medición de alguna cantidad física.

En el proceso de realizar mediciones físicas, con frecuencia hay interés tanto en la dirección como en la magnitud de una cantidad particular. La longitud de un poste de madera se determina por el ángulo que forma con la horizontal. De la dirección en que se aplica una fuerza depende su eficacia para producir un desplazamiento. La dirección en la cual se mueve una banda transportadora es, con frecuencia, tan importante como la velocidad a la que se desplaza. Tales cantidades físicas, como desplazamiento, fuerza y velocidad, son comunes en el campo de la industria. En este capítulo se presenta el concepto de vectores, el cual permite estudiar tanto la magnitud como la dirección de cantidades físicas.

CANTIDADES    FÍSICAS

  El lenguaje de la física y la tecnología es universal. Los hechos y las leyes deben expresarse de una manera precisa y consistente, de manera que un término determinado signifique exactamente lo mismo para todos. Por ejemplo, vamos a suponer que alguien nos dice que el desplazamiento del pistón de un motor es de 3,28 litros (200 pulgadas cúbicas). Debemos responder dos preguntas para entender ese enunciado:

 (1) ¿Cómo se midió el desplazamiento del pistón y

(2) ¿qué es un litro?

El desplazamiento del pistón es el volumen que el pistón puede desplazar o "expulsar" en su movimiento desde el fondo hasta la parte superior del cilindro. No se trata realmente de un desplazamiento, en el sentido usual de la palabra, sino de un volumen. Una medida estándar del volumen, que es fácilmente reconocida en todo el mundo, es el litro. 

Por lo tanto, cuando un motor tiene una etiqueta de especificaciones en la que se indica: "desplazamiento del pistón = 3,28 litros", todos los mecánicos entienden de igual manera dicha indicación.

En el ejemplo anterior, el desplazamiento del pistón (volumen) es un ejemplo de cantidad física. Hay que hacer notar que esta cantidad fue definida mediante la descripción de su proceso de medición. 

En física, todas las cantidades se definen en esta forma. Otros ejemplos de cantidades físicas son: longitud, peso, tiempo, velocidad, fuerza y masa.

Una cantidad física se mide comparándola con un patrón previamente conocido. Por ejemplo, supongamos que se desea determinar la longitud de una barra metálica. Con los instrumentos adecuados se puede determinar que la longitud de la barra es de 4 metros. No es que la barra contenga 4 cosas llamadas "metros", sino simplemente que se ha comparado con la longitud de un patrón conocido como "metro". 

La longitud también se podría representar como 13,1 pies o 4,37 yardas, si se usaran otras medidas conocidas.

La magnitud de una cantidad física se define con un número y una unidad de medida. Ambos son necesarios porque, por sí solos, el número o la unidad carecen de significado. Con excepción de los números y fracciones puros, es necesario indicar la unidad junto con el número cuando se expresa la magnitud de cualquier cantidad.

La magnitud de una cantidad física se especifica completamente con un número y una unidad; por ejemplo, 20 metros o 40 litros.

En vista de que hay muchas medidas diferentes para la misma cantidad, hace falta idear la forma de tener un registro de la magnitud exacta de las unidades empleadas. Para hacer esto, es necesario establecer medidas estándar para magnitudes específicas. 

Un estándar, norma o patrón es un registro físico permanente, o fácil de determinar, de la cantidad que implica una unidad de medición determinada. Por ejemplo, el estándar para medir la resistencia eléctrica, el ohm, puede definirse por medio de una comparación con un resistor estándar cuya resistencia se conoce con precisión. Por lo tanto, una resistencia de 20 ohms debe ser 20 veces mayor que la de un resistor estándar de 1 ohm.

Hay que recordar que cada cantidad física se define indicando cómo se mide. Dependiendo del dispositivo de medición, cada cantidad puede ser expresada en

varias unidades diferentes. Por ejemplo, algunas unidades de distancia son metros, kilómetros, millas y pies, y algunas unidades de velocidad son metros por segundo, kilómetros por hora, millas por hora y pies por segundo. Sin embargo, no importa cuáles sean las unidades elegidas, la distancia debe ser una longitud y la velocidad tiene que ser una longitud dividida entre un tiempo. Por lo tanto, longitud y longitud/tiempo, son las dimensiones de las cantidades físicas distancia y velocidad.

Hay que observar que la velocidad se define en términos de dos cantidades más elementales (longitud y tiempo). Es conveniente establecer un número pequeño de cantidades fundamentales, tales como longitud y tiempo, a partir de las cuales se puedan derivar todas las demás cantidades físicas. De este modo, se puede decir que la velocidad es una cantidad derivada y que la longitud o el tiempo son cantidades fundamentales. Si se reducen todas las medidas físicas a un número pequeño de cantidades con unidades básicas estándar, habrá menos confusión en su aplicación.

EL SISTEMA INTERNACIONAL: el sistema internacional de unidades se llama Systeme International d' Unités (SI) y es en esencia el mismo que se conoce como sistema métrico. El Comité Internacional de Pesas y Medidas ha establecido siete cantidades básicas y ha signado unidades básicas oficiales a cada cantidad. Un resumen de estas cantidades, con sus unidades básicas y los símbolos para representar esas unidades básicas, se muestra en la tabla 2-1.

Es posible medir muchas cantidades, tales como volumen, presión, velocidad y fuerza, que son combinaciones de dos o más cantidades fundamentales. 

Sin embargo, nadie ha encontrado jamás una medida que no pueda ser expresada en términos de longitud, masa, tiempo, corriente eléctrica, temperatura, intensidad luminosa o cantidad de sustancia. Las combinaciones de estas cantidades se denominan cantidades derivadas, y se miden en unidades derivadas. Algunas unidades derivadas comunes aparecen en la tabla 2-2.

Hay que observar que, aun cuando el pie, la libra y otras unidades se usan con frecuencia en los Estados Unidos, se han definido de nuevo en términos de las unidades estándar del SI. Gracias a eso, actualmente todas las mediciones están basadas en los mismos estándares.

Un metro es la longitud de la trayectoria que recorre una onda luminosa en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299 792 458 segundos.

El nuevo estándar del metro es más preciso, y tiene además otras ventajas. Su definición depende del estándar de tiempo (s) como se indica abajo, y éste se basa en un valor estándar para la velocidad de la luz. En la actualidad se considera que la velocidad de la luz es exactamente:

c = 2,99792458 X 10⁶ m/s        (exacta por definición)

Un segundo es el tiempo necesario para que el átomo de cesio vibre 9192631 770 veces.

1 metro (m) = 1000 milímetros (mm) 1 metro (m) =100 centímetros (cm) 1 kilómetro (km) = 1000 metros (m)

1 pulgada (in) = 25,4 milímetros (mm)

1 pie (ft) = 0,3048 metros (m)

1 yarda (yd) = 0,9144 metros (m)

1 milla (mi) = 1,61 kilómetros (km)

TABLA 2.2.

TABLA 2.1

CONVERSIÓN DE UNIDADES

En vista de que se requieren tan diversas unidades para los diferentes tipos de trabajo, con frecuencia es necesario convertir la medición de una unidad a otra. 

Por ejemplo, vamos a suponer que un mecánico midió el diámetro exterior de un tubo y obtuvo una lectura de 1 3/16 in(pulgadas). Sin embargo, cuando el mecánico solicite un accesorio para el tubo tal vez él tenga que informar cuál es el diámetro en milímetros. Ese tipo de conversiones se pueden hacer con facilidad manejando las unidades algebraicamente y aplicando después el principio de cancelación.

En el caso mencionado, el mecánico debe convertir primero la tracción en u: número decimal.

1 3/16  in  = 1,19 in

A continuación debe escribir la cantidad que desea convertir, anotando tanto e número como las unidades correspondientes (1.19 in). Ahora tendrá que recordar 1 definición que establece la relación entre pulgadas y milímetros:

1 in. = 25,4 mm

EJERCICIOS DE TRANSFORMACIÓN

1.- Un campo de fútbol tiene 100 [m] de largo y 60 [m] de ancho.¿ Cuál es el área, expresada en [ft²]?

2.- Una llave inglesa tiene una longitud de 8 [in]. ¿Cuál es la longitud expresada en [cm].?

3.- Un cubo mide 5 [in] por lado. ¿Cuál es el volumen del cubo en unidades del S.I.?

4.- El límite de velocidad en una carretera es de 65 [mi/hr], 

1. ¿Cuál es la equivalencia de esa velocidad en [km/hr].?
2. ¿En [ft/s].?

5.- Un motor Nissan tiene un desplazamiento de 28 [cm] y un diámetro del cilindro de 84 [mm]. Calcular el volumen de ese cilindro, en [in³].

6.- Un electricista debe instalar un cable subterráneo desde la carretera hasta una casa. Si la casa está ubicada a 1,2 [mi] ¿Cuántos pies de cable se necesitarán?

7.- Un galón estadounidense es un volumen equivalente a 231 [in³]. Suponga que el estanque de gasolina de un automóvil equivale a un paralelepípedo de 18 [in] de largo, 16 [in] de ancho y 12 [in] de altura.       ¿Cuántos galones puede contener este estanque?

8.- Una pieza de metal tiene 40 [cm] de largo y 20 [cm] de ancho. Exprese el área de esta pieza en unidades del S.I.

9.- Calcular la presión que ejerce un clavo apoyado por su punta sobre una mesa. El área de la punta del clavo es 0,04[ mm² ] y sobre el se ejerce una fuerza de 20 [N]. (Obtenga el resultado en : Pascal; atmósfera y en P.S.I.   (  [lb/in² ] ).

10.- Calcular la presión (en las mismas unidades) ejercida por la misma fuerza dando vuelta el clavo, de modo que sobre la mesa se apoya la cabeza, cuya superficie es 4 [mm² ].

11.- Calcule las diferentes presiones  que ejerce sobre una mesa un libro que pesa 5 [N] (aproximadamente paralelepípedo) de aristas: largo = 25 [cm] ; ancho = 16 [cm] y altura o espesor = 3 [cm]. (Obtenga el resultado en: pascal; MPa; atmósfera)

12.- Un trozo de 3 [dm³ ] de cobre tiene una masa de 25,5 [kg] . Calcule la densidad del cobre en [g/cm³]  y en  [kg/m³].

13.- ¿Cuál es la masa, expresada en kg, de 5 [l] de gasolina 

                         ( ρ  = 0,68 [g/cm³]).

14.- ¿Cuál es la masa, expresada en kg, de 5 [l] de agua, cuya densidad es de 1 [g/cm³]?

15.- Realice las siguientes transformaciones: 

a) 7 [in] a [mm] 

 b) 25 [ft] a [cm]. 

c) 6 [ha] a [yd²] 

 d) 8 [μm]  a [m]     

e)  6 x 10 ^–4 [m²] a [cm²] ;  

f) 1 [cm³]  a [m³]  

g) 36 [km/ hr]  a [m/s]      

h) 2 [m/s]  a [km/hr]    

i) 0,7 [g/cm³]  a [kg/m³]

16.- Dadas las siguientes constantes:

       c = 2,998 x 10⁸      ;  e = 1,6022 x 10^-19   ;  m = 9,1095 x 10^-31

Resuelva :  A = m • c             B = m²  • c           C =    e³

                          e                         e²                     m² • c³

AQUI TE PONGO LAS RESPUESTAS , CHECA SI LAS RESPONDISTE ATINADAMENTE

1.- 64.560 pies²

2.- 20,32 cm

3.-2,04 x 10^-3 m³

4.-  a) 104,5 Km/hr b) 95,3 pies/seg

5.- 94,11 pulg³

6.- 6.334,6 pies

7.- 15 gal.

8.- 0,08 m²

9.- 5 x 10⁸ Pa;  4934,5 atm ; 72500 PSI

10.- 5 X 10⁶ Pa ; 49,34 atm ; 725 PSI

11.- a) 125 Pa; 1,25 x 10^-4 MPa; 1,23 x 10^-3 atm

               b) 666,6 MPa; 6,66 x 10^-4 MPa; 6,5 x 10^-3 atm 

               c) 1.041 Pa; 1,04 x 10^-3 MPa ; 1,02 x 10^-2 atm

    12) 8,5 g/cm³; 8500 Kg/m³

    13) 3,4 kg

    14) 5 Kg

    15) a) 177,8 mm b) 762 cm c) 71.759 y² d) 8 x 10^-6 m e) 6 cm² f) 10^-6 m³ g) 10 m/s  h) 7,2 Km/hr  

              i) 700 Kg/m³

   16) a) 1,7 x 10^-3   b) 9,69 x 10^-15  c) 1,83 x 10^-22

CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES

Algunas cantidades pueden describirse totalmente por un número y una unidad. Sólo importan las magnitudes en los casos de un área de 12 m², un volumen de 40 ft³, o una distancia de 50 km. Este tipo de cantidades se llaman cantidades escalares.

Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y una unidad. Por ejemplo: rapidez (15 mi/h), distancia (12 km) y volumen (200 cm³).

Las cantidades escalares que se miden en las mismas unidades pueden sumarse o restarse en la forma acostumbrada. Por ejemplo,

14 mm + 13 mm = 27 mm           20 ft² - 14 ft² = 6 ft²

Algunas cantidades físicas, como la fuerza y la velocidad, tienen dirección y además magnitud, y se les llama cantidades vectoriales. La dirección debe formar parte de cualquier cálculo en el que intervengan dichas cantidades.

Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud y una dirección. * Consiste en un número, una unidad y una dirección. Por ejemplo, desplazamiento (20 m, norte) y velocidad (40 mi/h, 30°N de O).

La dirección de un vector puede indicarse tomando como referencia las direcciones convencionales norte (N), este (E), oeste (O) y sur (S). Considérense, por ejemplo, los vectores 20 m, O y 40 m a 30° N de E, como se muestra en la figura 2-8. 

La expresión "al norte del este" indica que el ángulo se forma haciendo girar una línea hacia el norte, a partir de la dirección este.

Otro método para especificar la dirección, que más tarde será de gran utilidad, consiste en tomar como referencia líneas perpendiculares llamadas ejes. Estas líneas imaginarias suelen ser una horizontal y otra vertical, pero pueden estar orientadas en otras direcciones siempre que sean perpendiculares entre sí. En general, una línea horizontal imaginaria se llama eje x, y una línea vertical imaginaria se llama eje y. 

En la figura 2-9, las direcciones se indican mediante ángulos medidos en sentido directo, es decir, contrario al avance de las agujas del reloj, a partir de la posición del ejex positivo; los vectores 40 m a 60° y 50 m a 210° se muestran en la figura.

Suponga que una persona viaja en automóvil de Atlanta a St. Louis. El desplazamiento a partir de Atlanta se puede representar por un segmento de línea, dibujado a escala, que va de Atlanta a St. Louis (véase la figura 2-10). Para indicar la dirección se dibuja una punta de flecha en el extremo correspondiente a St. Louis. Es importante notar que el desplazamiento, representado por el vector D.  es completamente independiente de la trayectoria real o de la forma de transportarse. El odómetro muestra que el automóvil ha recorrido en realidad una distancia escalar s, de 541 mi, pero la magnitud del desplazamiento es de sólo 472 mi.

Otra diferencia importante entre un desplazamiento vectorial y un desplazamiento escalar es que la componente del vector tiene una dirección constante de 140° (o 40° N del O). Sin embargo, la dirección del automóvil en cada instante del recorrido no es importante cuando se mide la distancia escalar.

Supongamos ahora que el viajero continúa su viaje hasta Washington. Esta vez, el vector desplazamiento D₂ es 716 mi en una dirección constante de 10° N del E. La correspondiente distancia por tierras₂ es 793 mi. La distancia total recorrida en todo el viaje, desde Atlanta, es la suma aritmética de las cantidades escalares s, y s₂.  

s, + s₂ = 541 mi + 793 mi = 1334 mi

En cambio, el vector suma de los dos desplazamientos D, y D₂ debe tomar en cuenta la dirección, además de las magnitudes. Ahora el problema no es la distancia recorrida, sino el desplazamiento resultante desde Atlanta. Este vector suma aparece en la figura 2-10 representado por el símbolo R, donde: R = D₁ + D₂

Los métodos que se analizarán en la siguiente sección permiten determinar la magnitud y la dirección de R. Utilizando una regla y un transportador se puede apreciar que R = 545 mi, 51°

Conviene recordar que cuando se habló de sumas de vectores se dijo que deben considerarse tanto la magnitud como la dirección de los desplazamientos. Las sumas son geométricas y no algebraicas. Es posible que la magnitud del vector suma sea menor que la magnitud de cualquiera de los desplazamientos componentes.

Generalmente, en materiales impresos se indican los vectores mediante el tipo negritas. Por ejemplo, el símbolo D, denota un vector desplazamiento en la figura 2-lO. Un vector puede indicarse convenientemente en letra manuscrita subrayando la letra o dibujando una flecha encima de ella. En textos impresos, la magnitud de un vector se indica generalmente en cursivas (itálicas); por lo tanto, D indica la magnitud del vector D. Frecuentemente, un vector se especifica con un par de números (R, θ). El primer número y su unidad indican la magnitud, y el segundo número indica el ángulo, medido en sentido contrario al avance de las agujas del reloj a partir de la parte positiva del eje*. Por ejemplo,

R = R, θ) = (200 km, 114°)

 Observe que la magnitud R de un vector siempre es positiva. Un signo negativo colocado antes del símbolo de un vector sólo invierte su dirección; en otras palabras, invierte la dirección de la flecha, pero no afecta la longitud. Si A = (10 m, E), entonces

-A sería (10 m, O).

SUMA O ADICIÓN DE VECTORES POR MÉTODOS GRÁFICOS

En esta sección se estudian dos métodos gráficos muy comunes para hallar la suma geométrica de vectores. El método del polígono es el más útil, ya que puede aplicarse fácilmente a más de dos vectores. El método del paralelogramo es conveniente para sumar sólo dos vectores a la vez. En ambos casos, la magnitud de un vector se indica a escala mediante la longitud de un segmento de recta. La dirección se marca colocando una punta de flecha en el extremo del segmento de dicha línea.

EJEMPLO 2-3

Un barco recorre 100 km hacia el norte durante el primer día de viaje, 60 km al noreste el segundo día, y 120 km hacia el este el tercer día. Encuentre el desplazamiento resultante con el método del polígono.

Respuesta = (216 km, 41°)

Ejemplo de descomposición de fuerzas

Una podadora de césped se empuja hacia abajo con una fuerza de 40 N, con un ángulo de 50° con respecto a la horizontal. ¿Cuál es la magnitud del efecto horizontal de esta fuerza?

LA FUERZA RESULTANTE

Cuando dos o más fuerzas actúan sobre el mismo punto de un objeto, se dice que son fuerzas concurrentes. El efecto combinado de tales fuerzas se llama fuerza resultante.

La fuerza resultante es la fuerza individual que produce el mismo efecto, tanto en la magnitud como en la dirección, que dos o más fuerzas concurrentes.

Las fuerzas resultantes pueden calcularse gráficamente representando cada fuerza concurrente como un vector. Con el método del polígono o del paralelogramo para sumar vectores se obtiene la fuerza resultante.

Con frecuencia las fuerzas actúan sobre una misma línea, ya sea juntas o en oposición. Si dos fuerzas actúan sobre un mismo objeto en una misma dirección, la fuerza resultante es igual a la suma de las magnitudes de dichas fuerzas. La dirección de la resultante es la misma que la de cualquiera de las fuerzas. Por ejemplo, considérese una fuerza de 15 N y una fuerza de 20 N que actúan en la misma dirección hacia el este. Su resultante es de 35 N hacia el este, como se muestra en la figura 2-16a.

Si las mismas dos fuerzas actúan en direcciones opuestas, la magnitud de la fuerza resultante es igual a la diferencia de las magnitudes de las dos fuerzas y actúa

en la dirección de la fuerza más grande. Suponga que la fuerza de 15 N del ejemplo se cambiara, de modo que tirara hacia el oeste. La resultante sería de 5 N, E, como se muestra en la figura 2-16b.

Si las fuerzas que actúan forman un ángulo de entre 0° y 180° entre sí, su resultante es el vector suma. Para encontrar la fuerza resultante puede utilizarse el método del polígono o el método del paralelogramo. En la figura 2-16c, las dos fuerzas mencionadas, de 15 y 20 N, actúan formando un ángulo de 60° entre sí. La fuerza resultante, calculada por el método del paralelogramo, resulta ser de 30.4 N a 34.7°.

TRIGONOMETRÍA Y VECTORES

El tratamiento gráfico de los vectores es conveniente para visualizar las fuerzas, pero con frecuencia no es muy preciso. Un método mucho más útil es aprovechar la trigonometría del triángulo rectángulo simple, procedimiento que se ha simplificado en gran medida gracias a las calculadoras actuales. En el Apéndice A, sección A-4, se incluye un breve repaso para quienes lo consideren necesario. El conocimiento del teorema de Pitágoras y cierta experiencia en el manejo de las funciones seno, coseno y tangente es todo lo que se requiere para el estudio de esta unidad.

Los métodos trigonométricos pueden mejorar la precisión y la rapidez al determinar el vector resultante o para encontrar las componentes de un vector. En la mayoría de los casos, es útil emplear ejes x y y imaginarios cuando se trabaja con vectores en forma analítica. Cualquier vector puede dibujarse haciendo coincidir su origen con el cruce de esas líneas imaginarias. Las componentes del vector pueden verse como efectos a lo largo de los ejes x y 7.

EJEMPLO 2-6

¿Cuáles son las componentes x y y de una fuerza de 200 N, con un ángulo de 60^o?

Solución

Se dibuja un diagrama ubicando el origen del vector de 200 N en el centro de los ejes x y y (véase la figura 2-17).

EJERCICIOS VECTORES

Trigonometría y vectores

1. Encuentre las componentes de x y de y de: (a) un desplazamiento de 200 km, a 34°; (b) una velocidad de 40 km/h, a 120°; y (c) una fuerza de 

50 N a 330°.

2. Un trineo es tirado por una cuerda que forma un ángulo de 40° con la horizontal. La tensión en la cuerda es de 540 N. ¿Cuáles son las componentes vertical y horizontal de este tirón? 

3. Al sacar un clavo se aplica una fuerza de 260 N con un martillo, en la dirección que se muestra en la figura 2-26. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de esta fuerza? 

4. Un corredor recorre 2,0 mi hacia el oeste y luego 6,0 mi al norte. Encuentre la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante.

5.  Se necesita ejercer una fuerza de 40 Lb para arrastrar un cajón sobre un piso de hormigón. Si se le ata una cuerda que forme un ángulo de 30º con la horizontal, ¿qué tirón se tiene quedar a lo largo de la cuerda?

El método de las componentes para sumar vectores

6. Encuentre la resultante de las siguientes fuerzas perpendiculares: (a) 400 N, 0°; (b) 820 N, 270°; (c) 650 N, 180°; y (d) 500 N, 90°.

7. Cuatro cuerdas se han atado a un anillo formando ángulos rectos entre sí. Las tensiones son, en orden, 40 Lb, 80 Lb, 70 Lb y 20 Lb. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante sobre el anillo? 

8.  Dos fuerzas actúan sobre un automóvil como muestra la figura 2-27. La fuerza A es iguala 120 N al oeste, y la fuerza B es de 200 N a 60° N de O. ¿Cuál es la resultante de estas dos fuerzas?

9.  Suponga que la dirección de la fuerza B en el problema 8 se invierte (+180°); si el resto de los parámetros no cambian, ¿cuál es la nueva fuerza resultante? El resultado es el vector de la resta (A - B). 

10.  Determine la fuerza resultante sobre el tornillo de la figura 2-28.

11.  Determine la resultante de las siguientes fuerzas por el método de las componentes: A = (200 Lb, 30°); B = (300 Lb, 330°) y C = (400 Lb. 250°).

12. Tres embarcaciones ejercen fuerzas sobre un gancho de amarre. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el gancho si la embarcación A ejerce una fuerza de 420 N, la embarcación B ejerce una fuerza de 150 N, y la embarcación C ejerce una fuerza de 500 N? (Consulte la figura 2-29).

13. Encuentre las componentes horizontal y vertical de los siguientes vectores: 

A = (400 Lb, 37°); 

B = (90 m, 320°); 

C = (70 km/h, 150°).

14. Determine la resultante R = A + B para los siguientes pares de fuerzas: 

(a) A = 520 N, sur; 

B = 269 N, oeste; 

(b) A = 18m/s, 

norte y B = 15m/s, oeste. 

15. Determine el vector diferencia (A - B) para los pares de fuerzas de problema 14. 

RESPUESTAS

1.Respuesta: 166 km; 112 km; -20 km/h, 34.6 km/h; 43.3 N, -25 N

2.Respuesta: X= 414 N; Y=347 N

3.Respuesta: -67.3N, 251 N

4.Respuesta:6,32 Mi; 72º; N de O

5.Respuesta:46,2 Lb

6.Respuesta: 406 N, 232°

7.Respuesta:68 Lb

8..Respuesta: 280 N; 38,2º N de O

9.Respuesta:174 N; 83º; S de O

10.Respuesta: 69,6 Lb; 154,1º

11.Respuesta:519 Lb; 55º; S de E

12.Respuesta: 853 N; 101,7º

13.-Respuesta: Ax = 319 Lb; Ay = 241 Lb; Bx = 69 m; By = -58 m

                    Cx = -61 Km/h; Cy = 35 Km/h

14.Respuesta: (a) 585 N, 242.6°; (b) 23,4 m/s, 129,8º

15.Respuesta: a) 585 N; 63º; N de O; b) 23 N; 50º 

TEMA 2 

B)EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN Y FRICCIÓN

Las fuerzas pueden actuar de tal forma que causen el movimiento o lo eviten. Los grandes puentes deben diseñarse de modo que el esfuerzo global de las fuerzas evite el movimiento. Las armaduras, vigas, trabes y cables, en conjunto, deben estar en equilibrio. Es decir, las fuerzas resultantes que actúan en cualquier punto de la estructura, deben estar equilibradas. Las plataformas, montacargas, ganchos, cables elevadores e incluso los grandes edificios, deben construirse de tal manera que se conozcan a fondo los efectos de las fuerzas y se controlen. En este capítulo continuaremos el estudio de las fuerzas en relación con los cuerpos en reposo. La fuerza de fricción, que es tan importante para el equilibrio en múltiples aplicaciones, se estudiará también en este capítulo como una ampliación natural de nuestro trabajo con todo tipo de fuerzas.

PRIMERA LEY DE NEWTON

       Por experiencia sabemos que un objeto estacionario permanece en reposo a menos que una fuerza externa actúe sobre él. Una lata de aceite permanece en la mesa de trabajo hasta que alguien la derriba. Un objeto suspendido estará colgando hasta que se suelte. Sabemos que son necesarias las fuerzas para hacer que algo se mueva si originalmente estaba en reposo.

Resulta menos obvio el hecho de que un objeto en movimiento continúe haciéndolo hasta que una fuerza exterior cambie el movimiento. Por ejemplo, una barra de acero que se desliza por el piso de la tienda, pronto quedará en reposo debido a su interacción con el piso. La misma barra podría deslizarse una distancia mucho mayor, antes de detenerse, si estuviera sobre hielo. Esto se debe a que la interacción horizontal, llamada fricción, entre el piso y la barra es mucho mayor que la fricción entre el hielo y la barra. Esto nos sugiere la idea de que una barra que se deslizara sobre una superficie horizontal totalmente carente de fricción, permanecería moviéndose para siempre. Estas ideas constituyen una parte de la primera ley de Newton sobre el movimiento.

PRIMERA LEY DE NEWTON: Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que una fuerza externa no equilibrada actúe sobre él.

Debido a la existencia de la fricción, no existe ningún cuerpo real que esté totalmente libre de la acción de fuerzas externas. Sin embargo, hay situaciones en las que es posible hacer que la fuerza resultante sea cero o aproximadamente cero. En tales casos, el cuerpo debe comportarse de acuerdo con la primera ley del movimiento. Puesto que reconocemos que la fricción nunca puede ser eliminada por completo, también debemos aceptar que la primera ley de Newton es una expresión de una situación ideal. Un volante que gira sobre cojinetes lubricados tiende a mantenerse girando pero aun la más leve fricción hará que tarde o temprano se detenga.

Newton llamo inercia a la propiedad de una partícula que permite mantenerla en un constante estado de movimiento o de reposo. Su primera ley a veces se conoce como ley de inercia. 

Cuando un automóvil se acelera, los pasajeros obedecen esta ley tendiendo a permanecer en reposo hasta que la fuerza externa de los asientos los obliga a moverse. De manera similar, cuando el automóvil se detiene, los pasajeros continúan en movimiento a velocidad constante hasta que son detenidos por los cinturones de seguridad o por su propio esfuerzo. Toda la materia posee inercia. El concepto de masa será presentado más adelante como una medida de la inercia de un cuerpo.

TERCERA LEY DE NEWTON

 No puede existir una fuerza, si no están implicados dos cuerpos. Cuando un martillo golpea un clavo, ejerce una fuerza de "acción" sobre el clavo. 

Pero el clavo también "reacciona" empujando hacia atrás al martillo. En todos los casos debe haber una fuerza de acción y una fuerza de reacción. Siempre que dos cuerpos interactúan, la fuerza ejercida por el segundo cuerpo sobre el primero (la fuerza de reacción), es igual en magnitud y dirección pero de sentido contrario a la fuerza ejercida por el primer cuerpo sobre el segundo (la fuerza de acción). Este principio se enuncia en la tercera ley de Newton:

TERCERA LEY DE NEWTON: Para cada acción debe haber una reacción igual y opuesta.

Por lo tanto, jamás puede existir una sola fuerza aislada. Considere los ejemplos de fuerzas de acción y de reacción de la figura 3-1.

Observe que las fuerzas de acción y de reacción no se cancelan entre sí. Son iguales en magnitud y dirección y de sentido opuesto, pero actúan sobre objetos diferentes. Para-que dos fuerzas se anulen deben actuar sobre el mismo objeto. Se puede decir que las fuerzas de acción crean las fuerzas de reacción.

Por ejemplo, cuando alguien empieza a subir una escalera lo primero que hace es colocar un pie sobre el escalón y empujarlo. El peldaño debe ejercer una fuerza igual y opuesta sobre el pie para evitar romperse. Cuanto mayor es la fuerza que ejerce el pie sobre el escalón, tiene que ser mayor ía reacción contra el pie. Desde luego, el escalón no puede crear una fuerza de reacción hasta que se aplica la fuerza del pie. La fuerza de acción actúa sobre el objeto, y la fuerza de reacción actúa sobre el agente que aplica la fuerza.

EQUILIBRIO: La fuerza resultante fue definida como una fuerza única cuyo efecto es igual al de un sistema dado de fuerzas. Si la tendencia de un conjunto de fuerzas es causar un movimiento, la resultante también produce dicha tendencia. Existe una condición de equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el objeto es cero. Esto equivale a decir que cada fuerza externa se equilibra con la suma de todas las demás fuerzas externas cuando existe equilibrio. Por lo tanto, de acuerdo con la primera ley de Newton, un cuerpo en equilibrio debe estar en reposo o en movimiento con velocidad constante, ya que no existe ninguna fuerza externa que no esté equilibrada.

nudo. Tomando en cuenta la tercera ley de Newton, las fuerzas de reacción ejercidas por el nudo sobre el techo, la pared y el suelo, se muestran en la figura 3-4c. Para evitar confusiones, es importante seleccionar un punto en el que actúen todas las fuerzas y dibujar aquellas fuerzas que actúan sobre el cuerpo en ese punto.

Se tiene un bloque cuyo peso W cuelga de una cuerda atada a otras dos cuerdas, A y B, las cuales a su vez están atadas al techo. Si la cuerda B forma un ángulo de 60° con el techo y la cuerda A forma un ángulo de 30°, dibuje el diagrama de cuerpo libre del nudo.

Solución

Siguiendo el procedimiento ya descrito, se traza el diagrama como se muestra en la figura 3-5. Este diagrama de cuerpo libre es válido y funcional, siempre y cuando se elijan los ejes x y y a lo largo de los vectores B y A, en lugar de utilizarlos horizontal o verticalmente, puesto que así se simplifica mucho el diagrama. Por lo tanto, en la figura 3-6 necesitamos encontrar las componentes de una sola fuerza W, ya que A y B quedan totalmente alineados a lo largo de un eje específico.

FRICCIÓN       Siempre que un cuerpo se mueve estando en contacto con otro objeto, existen fuerzas de fricción que se oponen al movimiento relativo. Estas fuerzas se deben a que se adhiere una superficie contra la otra y a que encajan entre sí las irregularidades de las superficies de rozamiento. Es precisamente esta fricción la que mantiene a un clavo dentro de una tabla, la que nos permite caminar y la que hace que los frenos de un automóvil cumplan su función. En todos estos casos la fricción produce un efecto deseable.

Sin embargo, en muchas otras circunstancias se desea minimizar el efecto de la fricción. Por ejemplo, hay que tomar en cuenta que el rozamiento provoca que se requiera un mayor trabajo para operar maquinaria, causa desgaste y genera calor, lo que en muchos casos trae consigo otros perjuicios adicionales. Así, los automóviles y los aviones se diseñan con formas aerodinámicas para reducir la fricción con el aire, ya que ésta es muy grande a altas velocidades.

Siempre que se desliza una superficie sobre otra, la fuerza de fricción que ejercen los cuerpos entre sí es paralela o tangente a ambas superficies y actúa de tal modo que se opone al movimiento relativo de las superficies. Es importante observar que estas fuerzas existen no sólo cuando hay un movimiento relativo, sino también cuando uno dé los cuerpos tan sólo tiende a deslizarse sobre el otro.

                                          R =  μ N

μ  = coeficiente de fricción

μ_s = coeficiente de fricción estática

μ_k =  coeficiente de fricción cinética

PROBLEMAS PARA RESOLVER

Resuelve estos diagramas de cuerpo libre 

1. Trace un diagrama de cuerpo libre para las condiciones que .se muestran en la figura 3-18. Aísle un punto donde actúen las fuerzas importantes y represente cada fuerza como un vector, actuando sobre ese punto, (No tome en cuenta el peso del poste.) Determine un ángulo de referencia y marque las componentes opuestas y adyacentes al ángulo de referencia. Gire sus ejes coordenados si así obtiene un diagrama más sencillo.

2. Estudie cada una de las fuerzas que actúan sobre el bloque o sobre el extremo del poste ligero de la figura 3-19. Construya los diagramas de cuerpo libre con los ángulos y componentes que se indican. Tenga cuidado de no elegir las fuerzas de reacción. El equilibrio requiere un diagrama vectorial en equilibrio. ¿Hay alguna ventaja en elegir otros ejes que no sean horizontales y verticales?

Resuelve estos problemas de equilibrio de traslación

3.  Si el peso del bloque que se muestra en la figura 3-18a es de 80 N, ¿cuáles son las tensiones en las cuerdas A y B? 

4.  Si la cuerda B de la figura 18a se rompe con tensiones mayores que 200 Ib, ¿cuál es el peso máximo W que puede soportar? 

5.  Determine la compresión en el soporte y la tensión en la cuerda de la figura 3-l8b cuando el peso es igual a 600 N. No tome en cuenta el peso del poste.

6. El bloque de la figura 3-19a pesa 70 N. ¿Cuáles son las magnitudes de la fuerza de fricción dirigida hacia arriba del plano y de la fuerza normal con dirección perpendicular al plano? 

7.  Los montantes dos por cuatro A y B de la figura 3-l9b se usan para soportar un peso de 400 Lb. Despreciando los pesos de los montantes, encuentre el valor de las fuerzas desconocidas e indique si cada montante se encuentra sometido a compresión o a tensión.             

8. Un semáforo de 80 N de peso está suspendido a la mitad de un cable tendido entre dos postes que distan entre sí 30 m. Si el semáforo hace que el cable se cuelgue una distancia vertical de 1 m en. el punto medio del cable, ¿cuál es la tensión del cable? (Sugerencia: En primer lugar encuentre el ángulo que forma el cable con la horizontal; luego trace un diagrama de cuerpo libre suponiendo que hay la misma tensión en cada segmento de cable.)    

9. Un camión atascado en el fango se saca, atando una cuerda al camión y sujetándola a un árbol. Cuando los ángulos tienen el valor que indica la figura 3-20, se ejerce una fuerza de 40 Lb en el punto medio de la línea. ¿Qué fuerza se ejerce sobre el camión?

Fricción

10. Se aplica una fuerza horizontal de 40 N para empezar a mover un trineo vacío de 600 N a través de nieve compacta. Después de que empieza a moverse, tan sólo se necesitan 10 N para conservar su movimiento a velocidad constante, 

(a) ¿Cuáles son los coeficientes de fricción estática y cinética?

 (b) Si se le añaden al trineo 200 N de provisiones, ¿qué nueva fuerza se requiere para arrastrar el trineo a velocidad constante?

11. Un trabajador en el muelle encuentra que se necesita una fuerza de 60 Lb para arrastrar un embalaje de 150 Lb por la cubierta a velocidad constante. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética? Si un embalaje más pequeño de construcción similar puede ser movido con una fuerza de sólo 40 Lb, ¿cuál es el peso de este embalaje?

12. El coeficiente de fricción estática entre madera y madera es 0.7 y el coeficiente de fricción cinética es 0.4. ¿Qué fuerza horizontal se requiere para empezar a mover un bloque de madera de 50 N a lo largo de un piso de madera? ¿Qué fuerza lo mantendrá en movimiento después de que la fricción estática ha sido contrarrestada?

13. Un bloque de acero que pesa 240 N descansa sobre una viga horizontal de acero. ¿Cuál es la fuerza horizontal necesaria para mover el bloque a velocidad constante si el coeficiente de fricción cinética es de 0.09? 

14.  Un bloque de 60 N es arrastrado a lo largo del piso horizontal a velocidad constante. Una cuerda atada a él forma un ángulo de 35º con el piso y tiene una tensión de 40 N. Trace un diagrama de cuerpo libre de todas las fuerzas que actúan sobre el bloque. Suponiendo que alcanza el equilibrio (velocidad constante), determine la fuerza de fricción y la fuerza normal. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética?

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS

1 y 2  son diagramas

3.-Respuesta: A =  95.3 N, B = 124 N

4.-Respuesta: W = 128 N

5.-Respuesta: A = 520 N ; B = 300 N

6.-Respuesta: R = 40,15 N; N = 57,34 N

7.-Respuesta: A = 693 Lb, compresión; B = 400 Lb, tensión

8.-Respuesta: 601,33 N 

9.-Respuesta: 58,5 Lb

10.-Respuesta: 0,0667; 0,0167; (b) 13,3 N

11.-Respuesta: 100 Lb

12.-Respuesta: 35 N;  20 N

13.-Respuesta: 21,6 N 

14.-Respuesta: 32.8 N, 37.1 N, 0.885