De centralización.
De dispersión.
Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.
Definición de moda
La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa por Mo.
Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, ladistribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4
Cálculo de la moda para datos agrupados
1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
Li es el límite inferior de la clase modal.
fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.
fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase.
También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:
Ejemplo
Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
| | fi |
|---|
| [60, 63) | 5 |
|---|
| [63, 66) | 18 |
|---|
| [66, 69) | 42 |
|---|
| [69, 72) | 27 |
|---|
| [72, 75) | 8 |
|---|
| | 100 |
2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.
En primer lugar tenemos que hallar las alturas.
La clase modal es la que tiene mayor altura.
La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
Ejemplo
En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.
| | fi | hi |
|---|
| [0, 5) | 15 | 3 |
|---|
| [5, 7) | 20 | 10 |
|---|
| [7, 9) | 12 | 6 |
|---|
| [9, 10) | 3 | 3 |
|---|
| | 50 | |
Definición de mediana
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
Cálculo de la mediana
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5
3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre
.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.
Ejemplo
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
| | fi | Fi |
|---|
| [60, 63) | 5 | 5 |
|---|
| [63, 66) | 18 | 23 |
|---|
| [66, 69) | 42 | 65 |
|---|
| [69, 72) | 27 | 92 |
|---|
| [72, 75) | 8 | 100 |
|---|
| | 100 | |
100/2 = 50
Clase de la mediana: [66, 69)
Definición de media aritmética
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total dedatos.
es el símbolo de la
media aritmética.
Ejemplo
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
Ejercicio de media aritmética
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
| | xi | fi | xi · fi |
|---|
| [10, 20) | 15 | 1 | 15 |
|---|
| [20, 30) | 25 | 8 | 200 |
|---|
| [30,40) | 35 | 10 | 350 |
|---|
| [40, 50) | 45 | 9 | 405 |
|---|
| [50, 60 | 55 | 8 | 440 |
|---|
| [60,70) | 65 | 4 | 260 |
|---|
| [70, 80) | 75 | 2 | 150 |
|---|
| | | 42 | 1 820 |
Propiedades de la media aritmética
1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.
La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:
8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un númerocualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.
3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentadaen dicho número.
4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética quedamultiplicada por dicho número.
Observaciones sobre la media aritmética
1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.
3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.
4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.
| | xi | fi |
|---|
| [60, 63) | 61.5 | 5 |
|---|
| [63, 66) | 64.5 | 18 |
|---|
| [66, 69) | 67.5 | 42 |
|---|
| [69, 72) | 70.5 | 27 |
|---|
| [72, ∞ ) | | 8 |
|---|
| | | 100 |
En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo.
EJERCICIOS
1.-Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
Calcular:
1 La moda, mediana y media.
2 El rango, desviación media, varianza y desviación típica.
2.Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
3.- Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
4.- Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:
3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.
5. Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5
6.Dadas las series estadísticas:
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Calcular:
La moda, la mediana y la media.
La desviación media, la varianza y la desviación típica
