PRÓPOSITO

ESTA PÁGINA HA SIDO CONCEBIDA CON EL FIN DE APOYAR A LOS ASPIRANTES A LA ESCUELA MÉDICO NAVAL DE MÉXICO EN SU PROCESO DE ESTUDIO DEL TEMARIO PARA SU EVALUACIÓN.

BUEN VIENTO Y BUENA MAR ASPIRANTES Y FUTUROS POTROS.

ATTE. LA MADRE DE UNA CADETE

miércoles, 28 de noviembre de 2012

LA NOTACIÓN SIGMA

Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.
Dada una sucesión: 
a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},...
Ésta se puede representar como la suma de los n primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega \sum  (sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:
\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+...+a_{n}


La ecuación anterior se lee la "suma de a_{k} desde k=1 hasta k=n." La tetra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros 1,2,3,4,5,......n, y se suman las expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación.


Ejemplos

Ejemplo # 1


Calcule la siguiente Serie:

\sum_{k=1}^{5}k^2

Solucion:

\sum_{k=1}^{5}k^2=1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

Ejemplo # 2


\sum_{j=3}^{5} \frac{1}{j}

Solucion:

\sum_{j=3}^{5} \frac{1}{j} = \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{20+15+12}{(3)(4)(5)}=\frac{47}{60}

Ejemplo # 3


\sum_{i=5}^{10} i

Solucion:

\sum_{i=5}^{10} i = 5+6+7+8+9+10=45

Ejemplo # 4


\sum_{h=1}^{6} 2

Solucion:

\sum_{h=1}^{6} 2+2+2+2+2+2=12

Ejemplo # 5

Exprese cada suma en notacion sigma:

(a) 5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+10^3

Solucion:

5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+10^3=\sum_{j=5}^{10} j^3

Ejemplo # 5


(b) \sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+...+\sqrt{77}

Solucion:

\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+...+\sqrt{77}=\sum_{k=3}^{77} \sqrt{k}

Sin embargo, no hay forma unica de escribir una suma en notacion sigma tambien la podemos representar de la siguiente manera:

Solucion

(a)\sum_{j=0}^{5} (5+j)^3

(b)\sum_{k=0}^{74} \sqrt{k+3}


Las siguientes propiedades son resultado natural de las propiedades de los numeros naturales.

Propiedades de las sumas

Sean las sucesiones
a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},...
y
b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},...

Entonces, para todo entero positivo n y todo numero real c, sabemos:
1. \sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k}) = \sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}

2. \sum_{j=1}^{n}(a_{j}-b_{j}) = \sum_{j=1}^{n}a_{j}-\sum_{j=1}^{n}b_{j}

3. \sum_{i=1}^{n} ca_{i} = c(\sum_{i=1}^{n}a_{i})

4. \sum_{i=1}^{n}(i)=\frac{n(n+1)}{2}

5.\sum_{i=1}^{n}(i^{2})=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

6.\sum_{i=1}^{n}(i^{3})=(\frac{n(n+1)}{2})^{2}

Demostracion


Para la demostracion de la 1 propiedad escribiremos el lado izquierdo de la ecuación de la siguiente manera: 
\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})

para obtener:

\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})= (a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+(a_{3}+b_{3})+...+(a_{n}+b_{n})


Sabemos que la suma es asociativa y comnumatativa por lo que los terminos se reordenan y queda de la siguiente manera:
\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})+(b_{1}+b_{2}+b_{3}+...+b_{n})


y sabemos que la sucesion (a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}) y (b_{1}+b_{2}+b_{3}+......+b_{n}) se puede escribir en notacion sigma de la siguiente manera:
(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}) = \sum_{k=1}^{n}a_{k}

y
(b_{1}+b_{2}+b_{3}+...+b_{n}) = \sum_{k=1}^{n}b_{k}

por lo que al sustituir obtendremos la 1 propiedad: 
\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})+(b_{1}+b_{2}+b_{3}+...+b_{n})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}

La demostración de la 2 propiedad es similar por lo que no la llevaremos acabo. Para la 3 propiedad utilizaremos la propiedad distributiva de la suma: 
\sum_{i=1}^{n} ca_{i}=ca_{1}+ca_{2}+ca_{3}+...+ca_{n}

como se menciono antes por la distributividad de la suma sabemos que:
\sum_{i=1}^{n} ca_{i}=ca_{1}+ca_{2}+ca_{3}+.......+ca_{n}=c(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})

y por notacion sigma sabemos que:
(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})=(\sum_{i=1}^{n}a_{i})

por lo que al momento de sustituir obtendremos la 3 propiedad: 
\sum_{i=1}^{n} ca_{i}=c(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})=c(\sum_{i=1}^{n}a_{i})

Ejercicios


Calcule cada suma y expresela sin usar notacion sigma:
1.\sum_{k=1}^{4}k

2.\sum_{k=1}^{4}k^2

3.\sum_{k=1}^{3}\frac{1}{k}

4.\sum_{i=1}^{100}(-1)^i

5.\sum_{j=2}^{12}[(1+\frac{1}{j})](j^2+1)

6.\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{k^{(2-k)}}+k(8)

7.\sum_{h=1}^{8}h(10)^h+1

8.\sum_{n=1}^{77}42

Exprese cada suma en notación sigma y calcule el resultado de la suma:

1.1+2+3+4+5+...+100

2.2+4+6+...+20

3.\frac{1}{2ln2}-\frac{1}{3ln3}-\frac{1}{4ln4}-...-\frac{1}{20ln20}

4.\frac{1}{1*2}-\frac{1}{2*3}-\frac{1}{3*4}-...-\frac{1}{999*1,000}

5.\frac{\sqrt{1}}{1^2}+\frac{\sqrt{2}}{2^2}+\frac{\sqrt{3}}{3^2}...\frac{\sqrt{n}}{n^2}

6.1-2x^2+3x^2-4x^2+5x^4+...-100x^{99}






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