MATEMÁTICAS

Comencemos por Matemáticas.

1. MATEMÁTICAS

Estructura de los números reales.- Los números reales y la recta numérica.- Propiedades y operaciones con números reales.- Valor absoluto de un número real.- Expresiones algebraicas.- Polinomios.- Productos notables.- Factorización.- Ecuaciones de primer grado con una incógnita.- Organización e integración de datos.- Conceptos básicos de probabilística.- Distribución de probabilidad.- Notación sigma.- Media aritmética, Mediana, Moda, Varianza, Desviación estándar. 

BIBLIOGRAFÍA

Baldor, Aurelio, ALGEBRA. Editorial ULTRA, 1ra. Reim. 2006.
Johnson, Robert. Estadística Elemental. Trillas, México, 1987.
Daniel, Uthea, BIOESTADISTICA: base para el análisis de ciencias de la salud, Noriega editores, 3ra. Ed. 1999, Méx.
Gotkin, Lassar G Goldstein Leo. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Limusa México, 1989.

BIBLIOGRAFIA QUE PUEDES CONSULTAR (LIBROS EN PDF)Si tienes alguno para compartir contacta en comentarios , así nos ayudaremos todos.


A)

ÁLGEBRA DE AURELIO BALDOR


.................................................................................................................................................................

ESTRUCTURA DE LOS  NUMEROS REALES

INTRODUCCIÓN

Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se puede expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

 = 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

Los números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

Operaciones con números reales

Suma de números reales

Propiedades

1.Interna:

El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

a + b  

 +   

2.Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3.Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

4.Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

 + 0 = 

5.Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

e − e = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

−(−) = 

La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

a − b = a + (−b)

Multiplicación números reales

La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con losnúmeros reales.

Propiedades

1.Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

a · b  

2.Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

(e · ) ·  = e · ( · )

3.Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

4. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a ·1 = a

 · 1 =1

5. Elemento inverso:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

6.Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

 · (e + ) =  · e +  · 

7.Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

 · e + ·  =  · (e + )

La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

Intervalos

Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x   / a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x   / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x   / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x  / a ≤ x < b}

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.

Semirrectas

Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.

x > a

(a, +∞) = {x   / a < x < +∞}

x ≥ a

[a, +∞) = {x   / a ≤ x < +∞}

x < a

(-∞, a) = {x  / -∞ < x < a}

x ≤ a

(-∞, a] = {x   / -∞ < x ≤ a}

Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuestode a, si a es negativo.

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2 < x < 2        x (−2, 2)

|x|> 2            x< 2 ó x>2     (−∞ , 2 )  (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

Propiedades

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10

3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7

d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9| 

Distancia

La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

d(a, b) = |b − a|

Entornos

Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por E_r(a) o E(a,r), al intervalo abierto (a-r, a+r).

E_r(a) = (a-r, a+r)

Los entornos se expresan con ayuda del valor absoluto.

E_r(0) = (-r, r) se expresa también |x|<r, o bien, -r < x < r.

E_r(a) = (a-r, a+r) se expresa también |x-a|<r, o bien, a a-r < x < a+r.

Entornos laterales:

Por la izquierda

E_r(a^-) = (a-r, a)

Por la derecha

E_r(a⁺) = (a, a+r)

Entorno reducido

Se emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto, sin que interese lo que ocurre en dicho punto.

E _r^*(a) = { x  (a-r, a+r), x ≠ a}

Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se puede expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

 = 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

Los números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

Operaciones con números reales

Suma de números reales

Propiedades

1.Interna:

El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

a + b  

 +   

2.Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3.Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

4.Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

 + 0 = 

5.Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

e − e = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

−(−) = 

La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

a − b = a + (−b)

Multiplicación números reales

La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con losnúmeros reales.

Propiedades

1.Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

a · b  

2.Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

(e · ) ·  = e · ( · )

3.Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

4. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a ·1 = a

 · 1 =1

5. Elemento inverso:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

6.Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

 · (e + ) =  · e +  · 

7.Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

 · e + ·  =  · (e + )

La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

Intervalos

Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x   / a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x   / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x   / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x  / a ≤ x < b}

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.

Semirrectas

Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.

x > a

(a, +∞) = {x   / a < x < +∞}

x ≥ a

[a, +∞) = {x   / a ≤ x < +∞}

x < a

(-∞, a) = {x  / -∞ < x < a}

x ≤ a

(-∞, a] = {x   / -∞ < x ≤ a}

Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuestode a, si a es negativo.

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2 < x < 2        x (−2, 2)

|x|> 2            x< 2 ó x>2     (−∞ , 2 )  (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

Propiedades

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10

3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7

d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9| 

Distancia

La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

d(a, b) = |b − a|

EJERCICIOS

Números reales. Ejercicios

1 Clasifica los números:

2Representa en la recta: 

3 Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones:

|x| < 1                |x| ≤ 1              |x| > 1              |x| ≥ 1

4Calcula los valores de las siguientes potencias:

5 Halla las sumas:

6 Realiza las operaciones:

7 Opera:

8Efectúa:

9Calcula:

10 Racionalizar

RESUMEN

Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

Los números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por.

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Operaciones con números reales

Suma

Propiedades

1.Interna:

a + b  

2.Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3.Conmutativa:

a + b = b + a

4.Elemento neutro:

a + 0 = a

5.Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

la diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (- b)

Producto

Propiedades

1.Interna:

a · b  

2.Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

3.Conmutativa:

a · b = b · a

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

5. Elemento inverso:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

6.Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

7.Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

Intervalos

Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.

Intervalo abierto

(a, b) = {x   / a < x < b}

Intervalo cerrado

[a, b] = {x   / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

(a, b] = {x   / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

[a, b) = {x  / a ≤ x < b}

Semirrectas

x > a

(a, +∞) = {x   / a < x < +∞}

x ≥ a

[a, +∞) = {x   / a ≤ x < +∞}

x < a

(-∞, a) = {x  / -∞ < x < a}

x ≤ a

(-∞, a] = {x   / -∞ < x ≤ a}

Valor absoluto

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuestode a, si a es negativo.

Propiedades

|a| = |−a|

|a · b| = |a| ·|b|

|a + b| ≤ |a| + |b|

Distancia

La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

d(a, b) = |b − a|

VIDEO TUTORIAL