PRÓPOSITO

ESTA PÁGINA HA SIDO CONCEBIDA CON EL FIN DE APOYAR A LOS ASPIRANTES A LA ESCUELA MÉDICO NAVAL DE MÉXICO EN SU PROCESO DE ESTUDIO DEL TEMARIO PARA SU EVALUACIÓN.

BUEN VIENTO Y BUENA MAR ASPIRANTES Y FUTUROS POTROS.

ATTE. LA MADRE DE UNA CADETE

jueves, 29 de noviembre de 2012

Media aritmetica, mediana, moda y varianza


Definición de parámetro estadístico

Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística.
Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por una gráfica.

Tipos de parámetros estadísticos

Hay tres tipos parámetros estadísticos:
De centralización.
De posición
De dispersión.

Medidas de centralización

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.
La medidas de centralización son:

Media aritmética

La media es el valor promedio de la distribución.

Mediana

La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.

Moda

La moda es el valor que más se repite en una distribución.

Medidas de posición

Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.
Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.
La medidas de posición son:

Cuartiles

Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.

Deciles

Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Percentiles

Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución.
Las medidas de dispersión son:

Rango o recorrido

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

Desviación media

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

Varianza

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media.

Desviación típica

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Definición de moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa por Mo.
Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, ladistribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuenciano hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4

Cálculo de la moda para datos agrupados

1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

fórmula de la moda
Li es el límite inferior de la clase modal.
fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.
fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase.
También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:
moda

Ejemplo

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
 fi
[60, 63)5
[63, 66)18
[66, 69)42
[69, 72)27
[72, 75)8
 100
moda
moda

2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.

En primer lugar tenemos que hallar las alturas.
alturas
La clase modal es la que tiene mayor altura.
moda

La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
moda

Ejemplo

En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.
 fihi
[0, 5)153
[5, 7)2010
[7, 9)126
[9, 10)33
 50 
moda
moda      

Definición de mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana

Ordenamos los datos de menor a mayor.
Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5
Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre cociente.
mediana
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
cociente es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
 fiFi
[60, 63)55
[63, 66)1823
[66, 69)4265
[69, 72)2792
[72, 75)8100
 100 
100/2 = 50
Clase de la mediana: [66, 69)
mediana

Definición de media aritmética

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total dedatos.
símbolo de la media aritmética es el símbolo de la media aritmética.
fórmula de la media
media

Ejemplo

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
media aritmética

Media aritmética para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
media
media

Ejercicio de media aritmética

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
 xifixi · fi
[10, 20)15115
[20, 30)258200
[30,40)3510350
[40, 50)459405
[50, 60558440
[60,70)654260
[70, 80)752150
  421 820
media

Propiedades de la media aritmética

1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.
expresión
La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:
8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un númerocualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.
mínimo
3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentadaen dicho número.
4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética quedamultiplicada por dicho número.

Observaciones sobre la media aritmética

1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.
3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.
4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.
 xifi
[60, 63)61.55
[63, 66)64.518
[66, 69)67.542
[69, 72)70.527
[72, ∞ ) 8
  100
En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo.
EJERCICIOS

1.-Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
xi6164677073
fi51842278
Calcular:
La moda, mediana y media.
El rango, desviación media, varianza y desviación típica.
2.Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
3.- Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
4.- Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:
3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.
5. Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5
6.Dadas las series estadísticas:
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Calcular:
La moda, la mediana y la media.
La desviación media, la varianza y la desviación típica