Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :
Binomio de Suma al Cuadrado:El Cuadrado del primer Termino, más el DobleProducto del Primer por el segundo Termino, más el Cuadrado del Segundo Término.
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Binomio Diferencia al Cuadrado:El Cuadrado del primer Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término.
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término.
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
Producto de dos binomios que tienen un término común: El cuadrado del termino común, mas el producto de termino comun por la suma de los terminos no comúnes, mas el producto de los términos no comunes.
( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
Binomio Suma al Cubo: El Cubo del Primer Término, más el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, más el cubo del segundo Término.
Binomio Diferencia al Cubo El Cubo del Primer Término, menos el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, menos el cubo del segundo Término.
( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3
Suma de dos Cubos: Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la suma de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, menos el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)
Diferencia de Cubos Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la diferencia de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)
Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio: El cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer termino, mas el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del segundo por el tercero, más el doble producto del tercero por el primero.
( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)
Trinomio Suma al Cubo
( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)
Identidades de Legendre
( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)
RESUMEN PRODUCTOS NOTABLES
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llamanfactores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
|
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2
Nota:
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
|
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)
(a + b) (a – b) = a2 – b2
|
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2 – b2
Otros casos de productos notable (o especiales):
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
|
Demostración:
Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x2 + 9 x + 14
obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14
Así, tenemos:
x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)
|
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)
|
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)
|
En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma mnx2 + ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).
Cubo de una suma
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
|
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3.
Cubo de una diferencia
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
|
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)3.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa:
Producto notable
|
Expresión algebraica
|
Nombre
| |
(a + b)2
|
=
|
a2 + 2ab + b2
|
Binomio al cuadrado
|
(a + b)3
|
=
|
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
|
Binomio al cubo
|
a2 - b2
|
=
|
(a + b) (a - b)
|
Diferencia de cuadrados
|
a3 - b3
|
=
|
(a - b) (a2 + b2 + ab)
|
Diferencia de cubos
|
a3 + b3
|
=
|
(a + b) (a2 + b2 - ab)
|
Suma de cubos
|
a4 - b4
|
=
|
(a + b) (a - b) (a2 + b2)
|
Diferencia cuarta
|
(a + b + c)2
|
=
|
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
|
Trinomio al cuadrado
|
EJERCICIOS PARA RESOLVER
Resuelve cada uno de los siguientes productos notables e identifica cada caso.
1. (2x -3)2
A) 4x-12x+9
B) 4x2+12x+9
C) 4x2-12x-9
D) 4x2-12x+92. (5x -4)2
A) 25x2+40x+16
B) 25x-40x+16
C) 25x2-40x-16
D) 25x2-40x+163. (7x +5)2
A) 49x2+70x+25
B) 49x2-70x+25
C) 49x2+70x-25
D) 49x4+70x+254. (6x +3)2
A) 36x4+36x+9
B) 36x2+36x+9
C) 36x+36x+9
D) 36x2+36x-95. (8x -9)2
A) 64x2-144x+81
B) 64x2+144x+81
C) 64x2-144x-81
D) 64x2-144+816. (2x -7)2
A) 4x2-28x-49
B) 4x2-28x+49
C) 4x2+28x+49
D) 4x2-28x+487. (10x +6)2
A) 20x2+120x+36
B) 100x2-120x+36
C) 100x2+120x+35
D) 100x2+120x+368. (11x+3)2
A) 121x2+66x-9
B) 112x2+66x+9
C) 121x2+60x+9
D) 121x2+66x+99. (20x -2)2
A) 400x2+80x+4
B) 80x2-80x+4
C) 400x2+80x+4
D) 400x2-80x+410. (30x -1)2
A) 90x2-60x+1
B) 900x2-60x-1
C) 900x2-60x+1
D) 900x2+60x+111. (3x+ 4b) (3x - 4b)
A) 9x2 + 16b2
B) 9x2 - 16b2
C) 6x2 - 8b2
D) 9x - 16b12. (8x2 + 7) (8x2 - 7)
A) 16x2 - 14
B) 64x4 - 49
C) 64x2+ 49
D) 64x2 - 4913. (9x9 - 10b6) (9x9 + 10b6)
A) 18x18 - 20b12
B) 81x18 - 100b12
C) 81x9- 100b12
D) 81x18+100b6
14. (20x25 - 12b30) (20x25+ 12b30)
A) 400x25 - 144b30
B) 200x50 - 72b60
C) 400x50+144b60
D) 400x50 - 144b60
15. (0,5x2 +0,2 b2) (0,5x2 - 0,2b2)
A) 025x4 - 4b4
B) 2,5x4 - 0,4b4
C) 0,25x4 + 0,04b4
D) 0,25x4 - 0,04b4
16. (0,8x8 + 0,7b10) (0,8x8 - 0,7b10)
A) 6,4x16 - 4,9b20
B) 0,64x16 +0,49b20
C) 0,64x8 - 0,49b10
D) 0,64x16 - 0,49b20
17. (3/4 x2 + 1/8 b2) (3/4x2 - 1/8 b2)
A) 9/16 x4 + 1/64b4
B) 16/19 x2 - 64/1 b2
C) 9/16 x2 - 1/64b2
D) 9/16 x4- 1/64 b4
18. (4/8 x6 + 3/9 b9) (4/8 x6 - 3/9 b9)
A) 16/64 x6 - 9/81 b9
B) 16/64 x12 + 9/81 b18
C) 16/64 x12 - 9/81 b18
D) 64/16x12 - 81/9 b18
19. (3x5 + b13) (3x5 - b13)
A) 9x10 - b26
B) 9x10 + b26
C) 9x5 - b13
D) 6x10 - b26
20. (7m3x9 + 0,2h7b10) (7m3x9 - 0,2h7b10)
A) 49m3x4h^- 14b20
B) 49m6x18 + 0,04h14b20
C) 49m3x19 - 0,04h17b10
D) 49m6x18 - 0,04h14b20
21. (2x + 2) (2x + 3)
A) 4x2 - 10x + 6
B) 4x2 + 10x + 6
C) 4x2 + 10x + 5
D) 4x2 + 5x + 622. (3x + 9) (3x + 2)
A) 9x2 - 33x + 18
B) 9x2 + 11x + 18
C) 9x2 + 33x + 18
D) 9x2 + 33x + 1123. (4x2 - 9) (4x2 - 6 )
A) 16x4 - 60x2 + 15
B) 16x4 - 60x2 - 54
C) 16x4 +60x2 + 54
D) 16x4 - 60x2 + 5424. (8x2 - 3) (8x2 - 7)
A) 64x4 - 80x2 + 21
B) 64x4 - 80x2 - 21
C) 64x4 - 80x2 + 10
D) 64x4+80x2 + 2125. (5x3 + 12) (5x3 - 10)
A) 25x6 + 10x3 -120
B) 25x6 + 10x3 +120
C) 25x6 - 10x3 -120
D) 25x6 + 10x3 -226. (14x3 + 3) (14x3 - 8 )
A) 196x6 - 70x3 - 24
B) 190x6 - 70x3 - 24
C) 196x6 +70x3 - 24
D) 196x6 - 70x3 +2427. (7x4 - 15) (7x4 + 8)
A) 49x8 + 49x4 - 120
B) 14x8 - 49x4 - 120
C) 49x8 - 49x4 - 120
D) 49x8 - 49x4 +12028. (10x6 - 20) (10x6 + 25)
A) 100x12 + 50x6 +500
B) 100x12 - 50x6 - 500
C) 20x12 + 50x6 - 500
D) 100x12 + 50x6 - 50029. (12x8 - 8) (12x8 + 6)
A) 144x16 - 24x8 + 48
B) 24x16 - 24x8 - 48
C) 144x16+24x8 - 48
D) 144x16 - 24x8 - 4830. (25x9 + 9) (25x9 - 8 )
A) 625x18 + 25x9 + 1
B) 625x18 - 25x9 - 72
C) 625x18 + 25x9 + 72
D) 625x18 + 25x9 - 72
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